Escurecimento de bordo

Uma imagem filtrada do Sol em luz visível, mostrando o efeito de escurecimento do bordo como uma luminosidade mais fraca em direção aos bordos do disco solar. A imagem foi tirada durante o trânsito de Vênus de 2012 (visto aqui como uma mancha escura na parte superior direita).

Escurecimento do bordo é um efeito óptico visto em estrelas (inclusive o Sol), em que a parte central do disco parece mais brilhante do que os bordos da imagem. O entendimento do efeito ofereceu aos primeiros astrônomos solares uma oportunidade para construir modelos com esses gradientes, o que levou ao desenvolvimento da teoria da transferência radioativa.

Teoria básica

Um caso idealizado de escurecimento de bordo. A fronteira exterior é o raio no qual os fótons emitidos pela estrela não são mais absorvidos. L é a distância para a qual a profundidade óptica é unitária. Fótons de alta temperatura emitidos em A vão escapar da estrela, assim como fótons de baixa temperatura emitidos em B. Note que, para uma estrela típica, este diagrama não está em escala. Por exemplo, para o Sol, L teria apenas alguns quilômetros.

A ideia de profundidade óptica é crucial para o entendimento do escurecimento do bordo. Uma distância igual a uma profundidade óptica é a espessura da camada de gás através da qual uma fração de 1/e fótons pode escapar. Isto é o que define o bordo visível de uma estrela, uma vez que é a algumas profundidades ópticas que uma estrela se torna opaca. A radiação que nos atinge é aproximadamente a soma de todas as emissões ao longo de toda a linha visível, até o ponto em que a profundidade óptica é unitária. Em particular, se a intensidade da radiação em uma estrela varia linearmente com a profundidade óptica, então a radiação que nos atinge terá a intensidade correspondente a uma profundidade óptica de uma unidade. Quando miramos próximo ao bordo de uma estrela, nós não podemos “ver” na mesma profundidade do que quando olhamos para o centro, porque a linha de visão deve viajar em um ângulo obliquo através do gás estelar quando olhamos para perto do bordo. Em outras palavras, o raio da estrela no qual vemos a profundidade óptica como uma unidade aumenta quando movemos nossa linha de visão em direção ao bordo.

O segundo efeito é o fato de que a temperatura efetiva da atmosfera estelar é, normalmente, decrescente com o aumento da distância para o centro da estrela. A radiação emitida por um gás é uma forte função da temperatura. Para um corpo negro, por exemplo, a intensidade integrada ao longo do espectro é proporcional à quarta potência da temperatura (lei de Stefan-Boltzmann). Quando olhamos para uma estrela, em primeira aproximação, a radiação vem de um ponto em que a profundidade óptica é unitária, e este ponto é mais profundo quando olhamos para o centro, portanto a temperatura será maior, e a intensidade também, do que quando olhamos para o bordo.

Na verdade, a temperatura na atmosfera de uma estrela nem sempre decresce com o aumento da profundidade e, para algumas raias espectrais, a profundidade óptica é unitária em uma região de aumento da temperatura. Neste caso, nós vemos o fenômeno de “brilho no bordo”; para o Sol, a existência de uma zona de temperatura mínima significa que o brilho no bordo deveria começar a dominar no infravermelho distante ou nos comprimentos de onda de rádio. Para fora da baixa atmosfera, e bem acima da zona de temperatura mínima, encontramos a coroa solar de um milhão de kelvin. Para a maioria dos comprimentos de onda, esta região é opticamente estreita, isto é, possui profundidade óptica baixa e, portanto, deve ter brilho no bordo se for esfericamente simétrica.

Uma complicação adicional surge da existência de estrutura tridimensional. A análise clássica de escurecimento de bordo estelar, como descrito acima, assume a existência de um equilíbrio hidrostático suave, e em algum nível de precisão esta premissa deve falhar (mais obviamente em manchas solares e fáculas, mas geralmente em todos os lugares. Em vez disso, a fronteira entre a cromosfera e a coroa consiste de uma região de transição muito complicada, melhor observada em comprimentos de onda de ultravioleta apenas detectáveis do espaço.

Cálculo do escurecimento de bordo

Geometria do escurecimento de bordo. A estrela tem centro em O  e raio R , O observador está no ponto P  à distância r  do centro da estrela, e está olhando para o ponto S  na superfície da estrela. No ponto de vista do observador, S  está a um ângulo θ de uma linha através do centro da estrela e o bordo da estrela está no ângulo Ω.

Na figura mostrada aqui, enquanto o observador no ponto P estiver fora da atmosfera estelar, a intensidade vista na direção θ será uma função apenas do ângulo de incidência ψ. Isto é mais convenientemente aproximado como um polinômio em cos ψ:

${\frac {I(\psi )}{I(0)}}=\sum _{k=0}^{N}a_{k}\cos ^{k}\psi ,$

onde I(ψ) é a intensidade vista em P ao longo de uma linha de visão que forma ângulo ψ com o raio estelar, e I(0) é a intensidade central. Para que o raio seja unitário, devemos ter:

$\sum _{k=0}^{N}a_{k}=1.$

Por exemplo, para um radiador lambertiano (sem escurecimento de bordo), teremos sempre a_k = 0, exceto para a₀ = 1. Como outro exemplo, para o Sol a 550 nm, o escurecimento de bordo será bem expresso por N = 2 e

$a_{0}=1-a_{1}-a_{2}=0,3,$

$a_{1}=0,93,$

$a_{2}=-0,23$

(Ver Cox, 2000). A equação para o escurecimento de bordo é às vezes mais convenientemente escrita como

${\frac {I(\psi )}{I(0)}}=1+\sum _{k=1}^{N}A_{k}(1-\cos \psi )^{k},$

que agora possui N coeficientes independentes, em vez de N + 1 coeficientes que devem somar um.

As constantes a_k podem ser relacionadas às constantes A_k. Para N = 2,

$A_{1}=-(a_{1}+2*a_{2}),$

$A_{2}=a_{2}.$

Para o Sol a 550 nm, temos, então:

$A_{1}=-0,47,$

$A_{2}=-0,23.$

Este modelo dá uma intensidade no bordo do disco solar de apenas 30% da intensidade no centro do disco.

Nós podemos converter essas fórmulas em funções de θ usando a substituição:

$\cos \psi ={\frac {\sqrt {\cos ^{2}\theta -\cos ^{2}\Omega }}{\sin \Omega }}={\sqrt {1-\left({\frac {\sin \theta }{\sin \Omega }}\right)^{2}}},$

onde Ω é o ângulo do observador para o bordo da estrela. Para θ pequenos, temos:

$\cos \psi \approx {\sqrt {1-\left({\frac {\theta }{\sin \Omega }}\right)^{2}}}.$

Vemos que a derivada de cos ψ é infinita no bordo.

A aproximação acima pode ser utilizada para derivar uma expressão analítica para a razão entre a intensidade média e a intensidade central. A intensidade média I_m é a integral da intensidade ao longo do disco da estrela, dividida pelo ângulo sólido subtendido pelo disco:

$I_{m}={\frac {\int I(\psi )\,d\omega }{\int d\omega }},$

onde dω = sin θ dθ dφ é um elemento de ângulo sólido, e as integrais são sobre o disco: 0 ≤ φ ≤ 2π e 0 ≤ θ ≤ Ω. Podemos reescrever isto da forma:

$I_{m}={\frac {\int _{\cos \Omega }^{1}I(\psi )\,d\cos \theta }{\int _{\cos \Omega }^{1}d\cos \theta }}={\frac {\int _{\cos \Omega }^{1}I(\psi )\,d\cos \theta }{1-\cos \Omega }}.$

Embora esta equação possa ser resolvida analiticamente, ela é um tanto incômoda. No entanto, para um observador a uma distância infinita da estrela, $d\cos \theta$ pode ser substituído por $\sin ^{2}\Omega \cos \psi \,d\cos \psi$, logo temos:

$I_{m}={\frac {\int _{0}^{1}I(\psi )\cos \psi \,d\cos \psi }{\int _{0}^{1}\cos \psi \,d\cos \psi }}=2\int _{0}^{1}I(\psi )\cos \psi \,d\cos \psi ,$

o que dá:

${\frac {I_{m}}{I(0)}}=2\sum _{k=0}^{N}{\frac {a_{k}}{k+2}}.$

Ou, com o Sol a 550 nm, isto indica que a intensidade média é 80,5 % da intensidade no centro.

Referências

• Billings, Donald E. (1966). A Guide to the Solar Corona. [S.l.]: Academic Press, New York 
• Cox, Arthur N. (ed) (2000). Allen's Astrophysical Quantities 14th ed. [S.l.]: Springer-Verlag, NY. ISBN 0-387-98746-0 
• Milne, E.A. (1921). «Radiative Equilibrium in the Outer Layers of a Star: the Temperature Distribution and the Law of Darkening». MNRAS. 81 (5): 361–375. Bibcode:1921MNRAS..81..361M. doi:10.1093/mnras/81.5.361 
• Minnaert, M. (1930). «On the Continuous Spectrum of the Corona and its Polarisation». Zeitschrift für Astrophysik. 1. 209 páginas. Bibcode:1930ZA......1..209M 
• Neckel, H.; Labs, D. (1994). «Solar Limb Darkening 1986-1990». Solar Physics. 153 (1–2): 91–114. Bibcode:1994SoPh..153...91N. doi:10.1007/BF00712494 
• van de Hulst; H. C. (1950). «The Electron Density of the Solar Corona». Bulletin of the Astronomical Institutes of the Netherlands. 11 (410). 135 páginas. Bibcode:1950BAN....11..135V 
• Mariska, John (1993). The Solar Transition Region. [S.l.]: Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0521382610 
• Steiner, O. (2007). «Photospheric processes and magnetic flux tubes». AIP Conference Proceedings. 919. 74 páginas. Bibcode:2007AIPC..919...74S. arXiv:0709.0081. doi:10.1063/1.2756784